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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT-041 GUIA Nº2 PROBABILIDADES


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1 UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MAT-041 GUIA Nº2 PROBABILIDADES Profesor: Sr. Patricio Videla Jiméez. 1. Ua empresa fabricate de televisores elige a sus proveedores de patallas de la siguiete maera: e cada empresa proveedora seleccioa al azar cico patallas a las que somete a prueba para determiar si ellas cumple co las especificacioes requeridas por la empresa para su producto. Se firma el cotrato de compra si todas las patallas examiadas supera la prueba. a) Cuál es la probabilidad de que sea elegida como proveedor ua empresa que dispoe de 150 patallas de las cuales sólo 30 o está e codicioes de pasar la prueba? b) Cuál es la probabilidad de que la tercera patalla sometida a prueba o supere el exame y, por tato, se descarte a esta empresa como proveedor? 2. Supoga que se tiee 9 papeletas umeradas del 1 al 9. Si se seleccioa al azar tres de ellas, determie la probabilidad de extraerlas e orde altero: par, impar y par o impar, par e impar; supoiedo que las papeletas se extrae a) Co reposició. b) Si reposició. 3. La probabilidad de que cierto compoete eléctrico fucioe es de 0.9. U aparato cotiee dos de estos compoetes. El aparato fucioará mietras lo haga, por lo meos, uo de los compoetes. Supoiedo idepedecia e la operació etre los compoetes, determie: a) La probabilidad de que ambas compoetes fucioe. b) La probabilidad de que sólo ua de las compoetes fucioe. c) La probabilidad de que el aparato fucioe. 4. U experimeto cosiste e lazar primero u dado para después lazar ua moeda, siempre y cuado el úmero del dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moeda se laza dos veces. a) Determie el espacio muestral de este experimeto. b) Este experimeto es equiprobable? Justifique. c) Calcule la probabilidad de que el resultado del dado sea par.

2 5. U sistema de alarma computarizado para platas idustriales, está diseñado de maera que avise la presecia de problemas de alto riesgo, cuado al meos dos de sus tres compoetes C 1, C 2 y C 3 se activa. La probabilidad que se active la compoete C 1 es de 0.7, la de C 2 es de 0.85 y la de C 3 es de 0.9. Sabiedo además, que la activació de C 3 es idepediete de las otras dos, mietras que la probabilidad de que se active C 2 dado que se ha activado C 1 es de 0.95, cuál es la probabilidad que el sistema avise de problemas de alto riesgo? 6. La caja A tiee 5 fichas egras y 4 fichas blacas, la caja B tiee 3 fichas egras y 5 blacas, y la caja C tiee 7 fichas egras y 2 blacas. Se traslada dos fichas de la caja A a la caja B, luego se extrae dos fichas de la caja B y se poe e la caja C, y fialmete se traslada dos fichas de la caja C a la caja A. Cuál es la probabilidad que la composició iicial de las cajas o haya cambiado, después del experimeto? 7. Sea A 1, A 2, A 3,..., A sucesos cojutamete idepedietes. Muestre que la probabilidad de que ocurra al meos uo de ellos es: ( ( )) 1 1 P A i i = 1 8. La ura 1 cotiee x esferas blacas e y rojas. La ura 2 cotiee z esferas blacas y v rojas. Se escoge ua esfera al azar de la ura 1 y se poe e la ura 2. Etoces se escoge ua esfera al azar de la ura 2. Cuál es la probabilidad que esta esfera sea blaca? 9. Supógase que A y B so dos evetos idepedietes asociados co u experimeto. Si la probabilidad que A o B ocurra es igual a 0.6, mietras que la probabilidad que A ocurra es igual a 0.4, determie la probabilidad de que B ocurra. 10. Supógase que teemos 2 uras, 1 y 2, cada ua co dos cajoes. La ura 1 tiee ua moeda de oro e u cajó. y ua de plata e el otro, mietras que la ura 2 tiee ua moeda de oro e cada uo de los cajoes. Se escoge ua ura al azar, y de ésta se escoge u cajó al azar. La moeda que ecotró e este cajó es de oro, cuál es la probabilidad de que la moeda provega de la ura 2? 11. U bolso cotiee tres moedas, ua de las cuales está acuñada co dos caras, mietras que las otras dos moedas so ormales y o so irregulares. Se escoge ua moeda al azar y se laza cuatro veces e forma sucesiva. Si cada vez sale cara, cuál es la probabilidad de que ésta sea la moeda co dos caras?

3 12. Dos empresas V y W, está examiado la coveiecia de participar e la obra de costrucció de ua carretera, cuya cocesió depederá del moto de los ofrecimietos. La empresa V preseta ua oferta, y la probabilidad es 0.75 de que obtega la obra co tal de que la empresa W o presete su oferta. Las posibilidades está 3 a 1 a favor de que W sí la presete: y si lo hace, la probabilidad de que V obtega la obra es solamete a) Cuál es la probabilidad de que V obtega la obra? b) Si V obtiee la obra. Cuál es la probabilidad que W o haya presetado su proposició? 13. U estudio realizado muestra que el 30% de las ifraccioes de trásito correspode a "exceso de velocidad". Además el 40% de los coductores deteidos e estado de ebriedad coducía a velocidad exagerada, mietras que el 20% de los veloces coducía e estado de ebriedad. Qué porcetaje de ifractores de trásito es deteido e estado de ebriedad? 14. Cierto artículo es facturado por 3 proveedores. Se sabe que el primero produce el doble de artículos que el segudo y que este, co el tercer proveedor produce la misma catidad de artículos. Por referecias acumuladas se sabe que 2% de los artículos producidos por cada uo de los 2 primeros proveedores es defectuoso, mietras que el tercero produce u 4% de artículos defectuosos. Si se almacea los artículos si importar que proveedor lo elabora, y se escoge uo al azar. a) Cuál es la probabilidad que este artículo sea defectuoso? b) Si el artículo es defectuoso, cuál es la probabilidad que haya sido producido por el primer proveedor? c) Si el artículo o es defectuoso, cuál es la probabilidad que haya sido producido por alguo de los dos primeros proveedores? 15. U proceso se puede ejecutar co uo de tres algoritmos posibles, digamos A, B y C. E el 20% de los casos se emplea el algoritmo A, mietras que los algoritmos B y C so usados el mismo úmero de veces. E alguas ocasioes e que se realiza el proceso se produce atrasos. Esto ocurre el 10% de las ocasioes e que se usa el algoritmo A, siedo estos porcetajes del 15% e el caso e que se aplica el algoritmo B y el 5% e el caso e que se usa el algoritmo C. a) E qué porcetaje de las ejecucioes del proceso o se produce atrasos? b) Qué porcetaje de los atrasos de las ejecucioes del proceso so atribuibles al algoritmo B? c) Elegida, al azar, ua ejecució Qué probabilidad hay que o tega retraso e su ejecució y correspoda al uso del algoritmo A o C? d) Etre las ejecucioes que o ha sufrido retraso e su ejecució, Cuál es el porcetaje de las que correspode al uso de los algoritmos A o C?

4 16. Los clietes se ecarga de evaluar los diseños prelimiares de varios productos electróicos. E el pasado, el 95% de los productos que co mayor éxito e el mercado recibiero bueas evaluacioes, el 40% de los productos co éxito moderado recibiero malas evaluacioes, y el 10% de los productos co escaso éxito recibiero bueas evaluacioes. Además, el 40% de los productos ha teido mucho éxito, el 35% u éxito moderado y la cuarta parte ua baja aceptació. a) Cuál es la probabilidad de que u producto obtega ua buea evaluació? b) Si u diseño obtiee ua buea evaluació. Cuál es la probabilidad de que se covierta e u producto de gra éxito? c) Si u uevo diseño o obtiee ua buea evaluació. Cuál es la probabilidad de que se covierta e u producto de gra éxito o tega éxito moderado? 17. Sea los sucesos: A 1 : Persoa lee la revista M. A 2 : Persoa o lee la revista M. B 1 : La persoa es hombre. B 2 : La persoa es mujer. P(A 1 ) = 0.4 P(B 2 ) = 0.55 P(B 2/A 2) = Calcular: a) P(A 1 B 1), P(A 1/B 1) y P(A 1 B 2) b) So idepedietes AyB c 1 2? 18. Ua persoa laza repetidas veces dos dados. Gaa si saca u 8 ates de obteer u 7. Cuál es la probabilidad de gaar? 19. E u juego de dados u jugador laza dos veces u par de dados. Gaa si los úmeros obteidos o difiere e más de dos uidades, co las siguietes excepcioes: si obtiee u tres e la primera tirada deferí obteer u cuatro e la seguda, si obtiee u oce e la primera tirada deberá obteer u 10 e la seguda. Cuál es la probabilidad de gaar? 20. U aficioado usa el siguiete sistema bastate simple para proosticar el tiempo atmosférico. Clasifica cada día como seco o mojado y supoe que la probabilidad de que cualquier día sea igual al precedete está dada por ua costate p (0 < p < 1). Co base e aotacioes ateriores, se supoe que el 1º de eero tiee ua probabilidad β de ser seco. Supoiedo que β =probabilidad (el i-ésimo día del año), obteer ua expresió para β y p. Evaluar tambié lim β e iterpretar su resultado. (Sugerecia: Expresar β e fució de β -1 ).

5 21. E u experimeto de laboratorio se iteta eseñar a u rató a doblar hacia la derecha e u laberito. Para ayudarlo e la eseñaza, el aimal es premiado si dobla a la derecha e ua prueba dada y castigado si dobla a la izquierda. E la primera prueba el rató dobla a la derecha o izquierda co igual probabilidad. Si e ua prueba dada el aimal es premiado, la probabilidad de que doble a la derecha e la siguiete prueba es p 1 >1/2, y si e ua prueba dada el aimal es castigado, la probabilidad de que doble a la derecha e la siguiete prueba es p 2 >p 1. a) Cuál es la probabilidad de que el rató doble a la derecha e la tercera prueba? b) Cuál es la probabilidad de que el rató doble a la derecha e la tercera prueba, dado que dobló a la derecha e la primera prueba? 22. U jugador laza repetidas veces dos dados ormales, iguales, de seis cartas, hasta que gaa o pierde. El jugador gaa e el primer lazamieto si obtiee u total de 7 u 11 y pierde e el primer lazamieto si obtiee u total de 2,3, ó 12. Si obtiee u total distito a los ateriores e su primer lazamieto, ese total es llamado su putaje. Etoces, laza los dados repetidas veces hasta que obtiee u total de 7 o su putaje. El jugador gaa si obtiee su putaje y pierda si obtiee u total de 7. Cuál es la probabilidad de que el jugador gae? 23. Sea B 1, B 2,..., B mutuamete excluyetes, y sea U B =. Supoga que P ( ) > 0 y ( A B ) p B j P j = para j 1,2,..., B j j =1 =. Muestre que ( A B ) p P =. 24. E ua ciudad se publica los periódicos A, B y C. Ua ecuesta reciete de lectores idica lo siguiete: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 2% lee A, B y C, y 4% lee B y C. Para u adulto escogido al azar, calcular la probabilidad de que: a) No lea iguo de los periódicos. b) Lea exactamete uo de los periódicos. c) Lea A y B si se sabe que lee al meos uo de los periódicos. 25. Supoga que la probabilidad codicioal de que u bebé acido a ua pareja sea hombre es me1 + fe 2, dode e 1 y e 2 so ciertas costates pequeñas, m es el úmero de hombres ya acidos a la pareja y f es el úmero de iñas ya acidas de la pareja. a) Cuál es la probabilidad de que el tercer bebé acido a la pareja sea u hombre si los dos primeros fuero mujeres? b) Ecuetre la probabilidad de que los primeros tres bebés acidos a la pareja sea hombres. c) Ecuetre la probabilidad de que azca por lo meos u hombre etre los tres primeros bebés acidos a la pareja.

6 26. E u sistema computacioal se dispoe de dos líeas de comuicació coectadas a través de u MODEM; por la líea de etrada la probabilidad de que se haya eviado u bit igual a 1 es de Por razoes de iterferecia el MODEM recibe co error esta señal, de tal maera que si se le evió u 1 la probabilidad que reciba u 1 es de 0.95; mietras que la probabilidad que reciba u 0 si se le evió u cero es de Se sabe además que el MODEM evía por la líea de salida la iformació de maera que la probabilidad de eviar u 1 habiedo recibido u 1 es de 0.98 y la probabilidad de eviar u 0 habiedo recibido u 0 es de a) Ecuetre la probabilidad de que el MODEM evíe u 0. b) Dado que el MODEM evió u 1, ecuetre la probabilidad de que por la líea de etrada se le haya eviado u 0. c) Si se evía ua señal formada por 8 bits (1 byte), calcule la probabilidad de que 4 de sus 8 bits sea Supoga que se escribe 4 dígitos 1,2,3 y 4 e orde aleatorio Cuál es la probabilidad de que al meos 1 dígito ocupe su lugar correcto? a) Supoga ahora que se escribe dígitos 1,2,3,..., e orde aleatorio. Cuál es la probabilidad de que al meos 1 dígito ocupe su lugar correcto? b) Qué pasa cuado? Solucioes: a) b) a) 5/18.- b) 20/81.- a) b) c) a) Ω = {( 1; c ; c ), ( 1; c; s)( 1; s; c ), ( 1; s; s), ( 2; c ),(2; s), K, ( 6; c ), ( 6, s) } b) No. c) 1/2.-. # Ω = 18.

7 x z + 1 y z x + y z + v + 1 x + y z + v / / / a) b) a) b) c) a) b) c) d) a) b) c) a) 0.21; 0.467; b) No / /2.-

8 1 20. = ( 2p 1) β + ( 1 p) ( 2p 1) ( ) 2p 1 1 β ; lim β = / a) b) c) a) e 2.- b) 1 2 ( e 1) ( e 1) e 1 2 e.- c) ( ) ( ) a) b) c) /24.- ( ) a) 1.- j = 1 j! b) 1 1 e.- j PVJ/pvj.

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